Hladik 2019

Zadani
Tahá se jedno téma z požadavků a papírek obsahující kvízové otázky. Na téma si připravte přehled, věty, důkaz (alespoň jeden) a aplikaci - prostě tomu rozumějte. Kvízové otázky

1. Hodnost symetrické matice je počet jejích nenulových vlastních čísel

2. -1 nikdy není vlastní číslo A*A kde A je reálná matice.

3. matice zobrazení je jednoznačná vůči danému podprostoru

4. f je kvadratická funkce, je potom i alfa*f kvadratická funkce?

Reseni

1. ano, vychází to například z spektrálního rozkladu

2. ne, pouze reálná symetrická matice musí mít reálná vlastní čísla, nesymtrická může mít komplexní (přesto, že je reálná)

3. Pouze pokud zafixujeme bázi.

4. ano.

Poznamky
Měl jsem Pangráce, kterého jsem měl i na cvičení a v obou případech jsem s ním byl velmi spokojen. Naučte se důkaz...a nespoléhejte, že si vytáhnete dobré téma . Průběh zkoušky: Vytáhnete si kvízové otázky a téma. O otázkách rozhodnout jestli platí a téma co nejvíc popsat. Pak je několik kol kdy se z vás vyučující snaží vytáhnout co nejvíc. Hodnotí docent Hladík, Pangrác pouze navrhuje.

Zadani

1. Pro libovolne $p_1,...,p_n > 0$ je $\mid \mid x\mid \mid = \sum^{n}_{i=1} p_i|x_i|$ normou na $\mathbb{R^n}$.

2. Bud $u \in R^n$ a necht $A \in R^{n \times n}$ ma vlastni vektor $v$ prislusny vlastnimu cislu $\lambda$. Pak $A+vu^T$ ma vlastni cislo $\lambda + u^Tv$

3. Matice $A^TA + I_n$ je positivne definitni pro kazdou matici $A \in R^{m \times n}$

4. Ctvercove matice $A$ radu $n$ takove, ze $det(A) = \pm 1$, tvori s maticovym nasobenim grupu